O Que é porcentagem

Porcentagem é toda razão de denominador 100 e representamos por 3% que significa em cada 100 eu retiro 3 .

Exemplo: Em uma blitz ocorrida em uma rodovia dos 25 automóveis fiscalizados 4 apresentavam documentação irregular. A razão entre o número de automóveis com documentação irregular e o número total de automóveis é:





Exemplo: Uma calça é vendida por R$36,00. Se seu preço for aumentado em 15% quanto passará a custar?
Novo Preço = preço antigo + aumento
novo preço =        36          +   0,15 . 36        = 36 . (1+0,15)

Novo preço + 36 . 1,15  = 41,40
Veja que o preço inicial fica multiplicado por 1,15 ou 1 + 0,15

Exemplo: Uma agência de turismo anunciou redução de 28% no preço de seus pacotes. Se 3 dias em Buenos Aires custavam U$340,00, quanto passará a custar essa viagem?

Novo valor = valor antigo - desconto
Novo valor = 340 - 0,28 x 340     = 340 x (1-0,28)
novo valor = 340 (0,72) =244,80

Veja que o preço original fica multiplicado por 0,72 ou 1 - 0,28.

Como resolver uma equação exponencial

Equação exponencial é todo equação que possui variável, ou seja, incógnita no expoente exemplo:

Procedimento é bastante simples colocamos o primeiro e o segundo membro na mesma base e igualamos os expoentes, e resolvemos a equação obtida. Vamos ver mais um exemplo:

Neste exemplo, nós desmembramos a potência de 7, e fizemos 7 elevado a x = m e obtivemos a equação 7m + 1/m =8 , resolvemos e encontramos os valores para m, substituímos e encontramos os valores de x. e somamos o que o problema estava pedindo , que é qual era a soma das raízes.

Função do 1º Grau

Vamos analisar alguns exemplos de exercícios envolvendo funções .
Função do primeiro grau é toda expressão do tipo:


f(x)=y

Logo y = ax + b

Do tipo y=ax + b

Raiz ou zero da função do 1º grau :

A raiz da função é o valor de x que torna y = 0

Quando x = 4  >>> y =0 então 4 é a raiz da função y = -x +  4

_________________________________________________________________________________

O Gráfico da função do 1º é uma reta.

Exemplo 1:

Exemplo 2:



Exemplo 3:

(UFRN) Seja a função linear y = ax - 4 , seja y = 10 para x=2, então o valor de y para x = -1 é:
a)3             b)4          c)-7          d) - 11

1º O que o problema pede? o valor de y quando x= -1

2º Divisão do problema:
a)Note que o problema fornece a função do 1º grau y =ax - 4 se soubermos o valor de a, bastaria substituir -1 na função e acharíamos o valor de y.
b)Mas foi fornecido que quando x = -2 o y =10 esses dados para achar o valor de a . Veja:
y = ax-4
10=a(-2)-4
10=-2a-4    >>>>> 10 +2a = -4
2a =-4-10 ----->> 2a=-14 ------>> a=14/2 ------>>> a =-7

resulta a função y= -7x -4

3º Desenvolvimento e solução do problema:
a)O problema quer saber o valor de y quando x=-1, vamos substituir esse valor na função. veja:

y = -7(-1) - 4
y=+7 - 4
y =3

Resposta alternativa a

Igualdade entre conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, dizemos que eles são iguais, se eles possuírem os mesmos elementos:

Exemplo:  A={a,e,i,o,u}    e B={x/x é vogal do nosso alfabeto}                  

             

                        Podemos concluir que os conjuntos A e B são iguais:  A=B

Obs : Se os conjuntos não forem iguais usamos o símbolo ≠    (Diferente)

Exemplo:  A=  {a,e,i,o,u}       B= {a,e,i}                          

Os conjuntos A e B são diferentes, embora tenham alguns elementos em comum: A  ≠ B.

Subconjuntos:

            Um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B, quando cada elemento de A também for um elemento do conjunto B. Neste caso, dizemos que A está contido em B. (A  ⊂  B).
Exemplo:

A={1,2,3}       e    B={1,2,3,4,5}

Representamos Por A⊂B

Como representar um conjunto

Um conjunto pode ser representado de duas maneiras:
1-Entre chaves: (colocando elemento por elemento, ou destacando uma propriedade)
A={a,e,i,o,u} A= {Vogal do nosso alfabeto}
2-Pelo diagrama de Venn:




Conjunto unitário: Um conjunto é unitário, quando possui apenas um elemento.
Exemplo: Seja o conjunto A dos meses do ano que começam com a letra S.
A={ }
Conjunto Vazio: Um conjunto é vazio, quando não possui nenhum elemento.
Exemplo: Conjunto B dos meses do ano que possuem 32 dias:
B={} ou B=Ø
Representação de Um conjunto Vazio:

{ } ou Ø

Exercícios:

Exercícios Divisibilidade

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Exercícios - Divisibilidade

Nos exercícios que se seguem você deve seguir pelo menos dois dos passos básicos e essenciais na resolução de problemas, a saber:

1-O que o problema quer saber, o que ele pede que você faça;

2-Dividir o problema em partes menores;

3-Desenvolver e solucionar o problema.

1)Considerando o número de 9 algarismos, dos quais o algarismo das unidades é “n” e todos os demais são iguais a 2, ou seja, 22222222n. O valor de n, a fim de que este número seja divisível por 6 , é:a)2 ou 8             b)2 ou 7           c)3 ou 6           d)0 ou 6

1º-O que o problema pede?
o valor de n para que o número 22222222n seja divisível por 6

2º Divisão do problema:
>Um número é divisível por 6, quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo;
>Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for um número divisível por 3;
>Um número é divisível por 2 quando for par, ou seja terminar em 0,2,4,6,8

3º Desenvolvimento e solução do problema:
Verificamos pelas opções que a alternativa “a” é a correta, pois:
a)2 ou 8 veja
>Se n =2 o número é 222222222 que é par e é divisível por 2 e é divisível por 3 pois a soma de seus algarismos é 18 e 18 é divisível por 3. Sendo divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo ele é divisível por 6.
>Se n = 8 o número é 222222228 que é par e é divisível por 2, é também divisível por 3 pois a soma de seus algarismo é 24 e 24 é divisível por 3. Sendo divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo ele é divisível por 6.
Resposta: alternativa a.

2)Seja A o conjunto dos múltiplos de 6 e B o conjunto dos múltiplos de 15. Então, ​

A∩B​ é o conjunto de todos os múltiplos de:
a)30                 b)45                 c)50                 d)90

1º O que o problema pede?

O conjunto ​A∩B​ forma os múltiplos de quais opções acima, ou seja, o conjunto de todos os múltiplos de 6 interseção com todos os múltiplos de 15.

2º Divisão do problema:

Múltiplos de 6 = {0,6,12,18,24,30,36,…}

Múltiplos de 15 ={0,15,30,45,…}

3º Desenvolvimento e solução do problema:

A partir dos múltiplos acima, notamos que 30 é múltiplo comum de 6 e 15, ou seja m.m.c (6,15) = 30 daí todos os múltiplos de 30 é a interseção de ​A∩B​

Resposta : Alternativa a

3)No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes piscam com frequências diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente , após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?
a)12              b)10                 c)30               d)15

1º O que o problema pede?

>Depois das lâmpadas picarem juntas, após quantos segundos piscarão juntas novamente?

2º Divisão do problema:
a)A primeira lâmpada pisca 15 vezes por minuto.
1 minuto = 60 s e 60 :14 = 4, logo essa lâmpada pisca de 4 em 4 segundos.
b)A segunda lâmpada pisca 10 vezes por minuto
1 minuto = 60 s e 60:10 =6, logo essa lâmpada pisca de 6 em 6 segundos.

3º Desenvolvimento e solução do problema:
Essas lâmpadas vão piscar juntas novamente no m.m.c de 4  e 6. o m.m.c (4,6)=12
Veja quando as lâmpadas irão piscar:

Lâmpada A={4,8,12,16,…}
Lâmpada B ={6,12,18,24,…}
Logo após 12 segundos elas piscarão juntas.
Resposta: alternativa a.

4)Os números x e y são tais que  ​
5≤x≤10​ e ​20≤y≤30​. Qual é o mairo valor possível de xy ?
a)1/6             b)1/4               c)1/3                d)1/2

1º O que o problema pede?

O maior valor possível da divisão x:y

2º Divisão do problema:
a)Quais são os valores de x?
x={5,6,7,8,9,10}
b)quais são os valores de y?
y={20,21,…,30}

3º Desenvolvimento e solução do problema:
a)Para que a divisão de x por y seja o maior valor  possível:
x deve ter o maior valor possível, logo x = 10
y deve ser o menor valor possível, logo y= 20
b)O quociente ​xy=1020=12​
Resposta: alternativa d

5)Qual dos números abaixo é primo?
a)121           b)401              c)362                    d)201

1º O que o problema pede?´Qual das opções acima é um número primo.

Obs: Um número é chamado primo somente quando ele é divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Pularemos a 2ª etapa.

3º Desenvolvimento e solução do problema:

>121 é divisível por 3  pois a soma dos seus algarismo é 3 e 3 é divisível por 3 logo não é primo;

>326 é divisível por 2 pois termina em 6 que é par logo não é primo;

>201 é divisível por 3 pois a soma do seus algarismos é 3 logo não é primo.

Por exclusão o número 401 é primo
Resposta : alternativa b

6)O menor número inteiro positivo que dividido por 12, 40 e 60 deixa sempre o resto 5, é:
a)500           b)300             c)125                d)NRA

1º O que o problema pede? o enunciado é bastante claro.

2º Divisão do problema:
a)Devemos achar um múltiplo comum de 12, 40 e 60 m.m.c(12,40,60)=120 VEJA:

12,40,606,20,303,10,153,5,151,5,51,1,1222352.2.2.3.5=120

b)Vamos dividir 120 por 12,40 e 60 respectivamente:
120:12 = 10 , 120: 40 = 3  e 120: 60 = 2 e o resto é zero

3º Desenvolvimento e solução do problema:
Para que o resto seja 5, devemos somar 120 +5 = 125
Assim,
125:12 = 10 e deixa resto 5
125: 40 = 3 e resto 5
125:60 = 2 de deixa resto 5
Resposta: alternativa c